STX (matB) ⊄ STX (matA)

For ikke matematikere betyder overskriften, at indholdet af matematik B læreplanen på STX – efter min mening – fremadrettet ikke skal indeholde en nedskaleret del af læreplanen for matematik A. MatB er ikke en lillesøster til MatA. De to “fag” har helt forskellige elevgrupper og deres behov for, hvilket fagligt indhold de kan få brug for i fremtidige studier er væsentligt forskellige. Dette er hele konklusionen på dette indlæg, som jeg gerne vil argumentere for i det nedenstående.

Nu skal vi (endelig) have nye læreplaner i matematik i gymnasiet. Ministeren (https://kortlink.dk/2mgkk) meldte den 29. juni ud, at der iværksættes et arbejde med revisionen, og det forventes, at de nye læreplaner træder i kraft efter sommerferien 2024. 

I det følgende vil jeg ikke diskutere det konkrete kernestof, der er relevant eller vigtigt, at have med i læreplanerne, men opfordre til en mere overordnet og bred tilgang til diskussionen af indhold og rammer for undervisningen. Min argumentation tager udgangspunkt i den banale konstatering, at gymnasiet har såvel en almendannende som en studieforberedende dimension. Således også matematik. Dette skal gælde på alle niveauer af faget. Men hvad er studieforberedende? Og for hvem?

I gymnasiesektoren har vi i en lang periode glemt at inddrage det fremragende arbejde, som blev præsenteret i KOMrapporten i 2002 (https://kortlink.dk/qz38 ). Kompetencebegrebet, som det er beskrevet i KOMrapporten, er desværre (stort set) fraværende i de aktuelle læreplaner og vejledninger. Fra KOMrapportens indledning:

“Rapporten præsenterer otte centrale matematiske kompetencer, som har gyldighed for matematikundervisning på samtlige uddannelsestrin: 

• Tankegangskompetence – at kunne udøve matematisk tankegang
• Problembehandlingskompetence – at kunne formulere og løse matematiske problemer
• Modelleringskompetence – at kunne analysere og bygge matematiske modeller vedrørende andre felter
• Ræsonnementskompetence – at kunne ræsonnere matematisk
• Repræsentationskompetence – at kunne håndtere forskellige repræsentationer af matematiske sagsforhold
• Symbol- og formalismekompetence – at kunne håndtere matematisk symbolsprog og formalisme
• Kommunikationskompetence – at kunne kommunikere i, med og om matematik
• Hjælpemiddelkompetence – at kunne betjene sig af og forholde sig til hjælpemidler for matematisk virksomhed, herunder it.”

De 8 kompetencer er relevante i såvel en studieforberedende kontekst som en almendannende kontekst, men vægtningen er meget forskellig.

Min pointe er, at vægtningen af de 8 kompetencer bør afspejles på de forskellige niveauer i matematikundervisningen i det studieforberedende fokus.

Lad mig være konkret. 

For en elev, der vælger en naturvidenskabelig studieretning med matematik på A-niveau, er det meget sandsynligt, at studenten vælger at læse videre på et studie, der kommer til at anvende videnskabsfaget matematik og vil derfor kræve af eleven, at denne er stærk i Tankegangskompetence, Ræsonnementskompetence, Repræsentationskompetence, Symbol- og formalismekompetence og Kommunikationskompetence. Som jeg hørte en underviser på CBS udtale (der udelukkende underviser studenter fra gymnasiet med matematik på A-niveau): “hvis bare I i gymnasiet lærer eleverne brøkregning, potensregler, at regne med parenteser og simpel aritmetik og algebra, så skal jeg nok lære dem resten”.

For at de kommende studenter skal stå stærkt i deres studier, skal der fokuseres på at håndtere den matematiske værktøjskasse. De skal være trænede i algebraisk manipulation, i at forstå abstrakte matematiske begreber og strukturer og i at tænke kreativt og ideudviklende for at kunne opnå ny (for dem) matematisk erkendelse.

Et billede på denne elev er ingeniøren, der gerne vil forstå forbrændingsmotoren, så han kan justere tændingen på sin bil hjemme i garagen. Han vil ind i teknologien. Han vil forstå sin bil for at opnå den fulde tilfredsstillelse i at køre den. Han vil forstå videnskaben.

En elev, som ikke aktivt tilvælger matematik på B-niveau (det er “blot” en del af pakken i studieretningen), er ikke oplagt til at søge ind på et studie, hvor videnskabsfaget matematik spiller en tilsvarende stor rolle. Denne elev vil fremadrettet skulle anvende matematik og en lang række af uddannelser kræver matematikniveau på B-niveau, netop fordi faget spiller en rolle. Men det er min påstand, at faget spiller en rolle som et anvendt fag. Du behøver ikke at kunne løse en andengradsligning for at blive en god sygeplejerske eller arkitekt. Men du får behov for at kunne benytte matematik til beregninger og analyser.

Et billede på denne elev er arkitekten, der anvender bilen som en “black box”, der skal se ordentlig ud, og som kan bringe ham fra A til B. Det er ikke nødvendigt at forstå forbrændingsmotoren, men det er essentielt at forstå den påvirkning benzinmotoren har på miljøet, hvordan man kan anvende bilen og forurene mindst muligt, at vide noget om hastighed og bremselængde og alle mulige andre konsekvenser af at anvende sin “black box”.

For disse kommende studenter er det helt andre matematikkompetencer og erfaringer, der skal i spil. De skal have erfaringer med, at matematik er et stærkt værktøj, der kan bibringe en viden, som man ikke kunne få uden. Det kan være en hypotesetest, der afklarer, om man med tilstrækkelig stor overbevisning kan sige, at Henriette i klassen kan (eller ikke kan)  smage forskel på en Harboe og en Coca Cola. Eller det kan være på baggrund af indsamling af empiri at afgøre, om matematiklæreren i klassen kan siges at have store fødder. Eller det kan være at gennemføre en statistisk analyse af, hvor lang tid gymnasieelever bruger dagligt på de sociale medier, og om mobil-hoteller har en effekt på det… Osv. osv.

Hvis du prøver på uddannelsesguiden (https://kortlink.dk/2mgkm) med standardindstillingen, så har du med en almen studentereksamen med matematik B adgang til 125 uddannelser. Hvis du ændrer dette til A-niveau, er tallet 149 uddannelser, og det er stort set kun de to kategorier IT, elektronik og teknik samt naturvidenskab, der vokser. Hvis du har matematik på C-niveau, har du adgang til 77 uddannelser. Her er det uddannelser indenfor handel, økonomi og markedsføring, IT, teknik og elektronik, kultur, sprog og kommunikation og samfund og forvaltning, der forsvinder fra paletten af potentielle mulige uddannelsesvalg.

Det betyder altså, at uddannelser inden for handel, økonomi og markedsføring, IT, teknik og elektronik, kultur, sprog og kommunikation og samfund og forvaltning regner med, at deres kommende studenter kan matematik på B-niveau. Men det er så min påstand, at den matematik ikke er at løse andengradsligninger eller at kunne kvadratsætningerne udenad. Disse studenter har behov for at kunne anvende matematikken i deres beslutningsprocesser i de øvrige fagområder. Og de relevante kompetencer skal derfor være: Modelleringskompetence, Kommunikationskompetence og Hjælpemiddelkompetence.

Tilbage i KOMrapporten kan man læse mere uddybende om modelkompetencen – altså at forstå anvendt matematik. På side 205 skriver de:

“… i modelleringskompetencen [indgår der] mange elementer, som ikke er af klassisk matematisk art, fx viden om udenomsmatematiske kendsgerninger og betragtninger, og beslutninger vedrørende modelleringens formål, hensigtsmæssighed, relevans for stillede spørgsmål osv.”

Dette kompetenceniveau svigter vi med de nuværende læreplaner i matematik på gymnasieniveau. 

Der tales ganske vist om, at vi skal arbejde med matematisk anvendelse, men den del, der rækker ud over det snævre matematik-domæne, bliver ganske overfladisk berørt. En typisk skriftlig eksamensopgave på B-niveau vil måske bede eleven om at forholde sig til, hvor præcist en model kan beregne en fremtidig model-værdi og udregne den procentvise afvigelse fra en oplyst tabel-værdi. Tilsvarende vil man i den mundtlige gruppedel ofte bede eleverne om at udføre en regression på et foreliggende datamateriale og i bedste fald vurdere residualplottet for at vurdere modellens kvalitet. Dette er modelkompetence, men i den mest snævre forstand.

De eksisterende lærebøger er meget mangelfulde og formår ikke at hjælpe underviserne med at bibringe et fagsprog i modelkompetencen. Idealisering, abstraktion, modellens domæne, estimering af parameterværdier, verificering af modellens validitet og fokus på korrelation og kausalitet er stort set fraværende i alle lærebøgerne. Og dermed bliver det ikke trænet i den pressede hverdag – det er jo alligevel ikke eksamensrelevant.

På side 52 i KOMrapporten gennemgås modelkompetencen i detaljer:

“Modelanalyse: Denne kompetence består på den ene side i at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. … 

Modelbygning kompetencen [består] i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv. … 

Aktiv modelbygning indeholder en række forskellige elementer. Først at kunne strukturere det felt eller den situation der skal modelleres. Dernæst at kunne gennemføre en matematisering heraf, dvs. en oversættelse af objekter, relationer, problemstillinger m.v. til et område af matematikken, resulterende i en matematisk model. At kunne behandle den opståede model, herunder løse de matematiske problemer den måtte give anledning til, samt at kunne validere den færdige model, dvs. bedømme dens holdbarhed både internt (i forhold til modellens matematiske egenskaber) og eksternt (dvs. i forhold til det felt og den situation modellen omhandler). Der indgår tillige at kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til dens egen brugbarhed og relevans og i forhold til mulige alternative modeller, og at kunne kommunikere med andre om modellen og dens resultater. Endelig indgår det i aktiv modelbygning at have overblik over og kunne styre den samlede model.”

Jeg hører så modargumentet “Man kan ikke arbejde med matematiske modeller uden at forstå den bagvedliggende matematik”. Men det er ikke rigtigt. Man kan fint forstå de nævnte modeltekniske begreber, når de konkretiseres i simple eksempler og derefter anvendes på andre modeleksempler (https://kortlink.dk/2mgkn). Man kan sagtens forstå forskellene på korrelation og kausalitet, når det gøres konkret, som fx når man undersøger sammenhængen mellem antal storkepar i et land og korrelationen til antallet af børnefødsler og dermed konkluderer noget om, hvordan man får børn (https://kortlink.dk/2mgkp). Og videre kan man konkret se, hvor centralt anvendelsen af matematiske modeller er i beslutningsprocesser, når man ser at eksemplet med storkepar og børnefødsler blev udnyttet (misbrugt) i en beslutning, da den amerikansk kongres afholdt en høring om behovet for at sætte mærkater på cigaretpakker for at fremhæve rygnings skadelige effekter. Man kan godt forstå mekanismerne i den økonomiske model ADAM, når man ikke skal ind i modellen, men blot forstå de sammenhænge, som modellen modellerer (https://kortlink.dk/2mgkq) . Det kan man sagtens kapere på et matematik B niveau. Og det skal man. Man kan sagtens konceptuelt behandle, hvordan mindste kvadraters metode virker ved at se en simpel animation/øvelse og derved få en indsigt i, hvordan lineær regression er en metode til estimering af parametre i en model (https://kortlink.dk/2mgkr).

Matematiske modeller kan gøres sjove, nærværende og relevante.

Så, hvad er min pointe?

Når de kommende læreplaner skal formuleres, så vil jeg anbefale, at der på A-niveauet fokuseres stærkt på, at eleverne opnår et solidt matematisk fundament og matematisk selvtillid (self-efficacy). De centrale kompetencer for denne elev må være: Tankegangskompetence, Ræsonnementskompetence, Repræsentationskompetence, Symbol- og formalismekompetence og Kommunikationskompetence. Det kræver masser af papir og blyant, fokuseret men begrænset brug af CAS-værktøjer og et fokus på, at eleverne får et solidt billede af videnskabsfaget matematik.

På B-niveauet vil jeg anbefale, at der fokuseres meget på at eleverne får oplevelser med anvendelsen af faget matematik. Gennem model-analyse og modelbygning og gennem at eleverne bedømmer kvaliteten og rækkevidden af de matematiske modeller. De centrale kompetencer for denne elev må være: Modelleringskompetence, Kommunikationskompetence og Hjælpemiddelkompetence. Dette vil kræve langt mindre fokus på algebra-gymnastik og vil kræve betydeligt (med stadig fokuseret) brug af CAS i undervisningen. Papir og blyant vil stadig være centralt, men som en del af den kreative model-bygningsproces og mindre til at løse andengradsligninger, for det er ikke det, som eleverne får brug for fremadrettet.

Jeg siger ikke, at man ikke skal arbejde med enkel algebra og papir og blyant som arbejdsredskab. Det styrker evnen til fordybelse og ræsonnement, men vi skal have langt langt mere fokus på modelkompetencen i den bredeste forstand.

Så for at retfærdiggøre min overskrift: “STX (matB) ⊄ STX (matA)” så skal indholdet af de nye læreplaner for matematik B ikke være en mindre del af læreplanen for matematik A. De to læreplaner skal afspejle de meget forskellige krav, som de færdige studenter fra gymnasiet sandsynligvis vil møde i deres fremtidige livssituationer.

En yderligere effekt vil formodentlig være, at vi vil skærpe en stor gruppe elevers interesse for et fag, som de tidligere har tænkt ikke var noget for dem.

Af: Cand. Comm. lektor i matematik Klavs Kokseby Frisdahl på Gladsaxe Gymnasium (STX)