Hvis man i dag bad en gymnasieelev med matematik på A-niveau om at løse en matematikopgave fra 1948, ville eleven formentlig have svært ved det, fortæller lektor Torben Spanget Christensen fra Syddansk Universitet.
Men det betyder ikke, at elevernes faglighed er blevet dårligere, understreger Torben Spanget Christensen, der har siddet i den ekspertgruppe, som har været med til at undersøge fagligheden i matematik i gymnasiet.
“For gymnasieelever, der havde matematik på højt niveau i 1948, ville sikkert også have svært ved at løse nutidens eksamensopgaver,” siger han og uddyber:
“Det giver ikke mening at konkludere, at fagligheden i matematik er faldet eller steget, for fagligheden er meget forandret.”
Syddansk Universitet har stået for den store undersøgelse af fagligheden i gymnasiet i dansk, matematik, fysik og engelsk. I forrige uge offentliggjorde Børne- og Undervisningsministeriet anden del af undersøgelsen, hvor forskere har analyseret undervisningsbeskrivelser, eksamenssæt og eksamensbesvarelser. Derudover har man spurgt nutidens gymnasielærere og universitetsundervisere.
Læs: Professor om kæmpe undersøgelse: Behov for nuanceret debat om faglighed i gymnasiet
Lettere at bestå
Den vigtigste pointe om matematik på A-niveau er, at matematikfagligheden er stabil over de seneste 50 år både i forhold til det faglige indhold og til progressionen, siger matematiklærer Olav Lyndrup, der også har siddet i ekspertudvalget for matematik.
“Men der er sket en forskydning fra det, man populært kan kalde ’papir og blyant-matematik’ og ’abstrakt matematik’ over imod ’problemløsende og undersøgende matematik’ med brug af ’digitale matematikværktøjer,’ konkluderer ekspertudvalget.
Udvalget har i alt analyseret 11 eksamenssæt fra 1948 og frem til 2018. Konklusionen på analysen er, at ”eksamenssættene efterspørger samme grundlæggende viden og færdigheder inden for fagets begreber, tematiske indhold og metoder”.
Det krævede niveau i matematik var ikke højere tidligere end i dag.
Udvalget konkluderer derfor, at ”den samlede sværhedsgrad i eksamenssættene vurderes til at være konstant i perioden”.
“Det krævede niveau i matematik var ikke højere tidligere end i dag. Der blev spurgt på en anden måde, men det er det samme kernefaglige stof, der indgår i eksamenssættene,” siger Olav Lyndrup.
Det var lidt af en øjenåbner for ham.
“Jeg havde - som mange andre erfarne matematiklærere måske også har - en idé om, at de opgaver, som jeg selv skulle løse til eksamenen som mat/fys-student for 30 år, var meget sværere,” siger Olav Lyndrup, der underviser på Nykøbing Katedralskole.
At der i dag bliver spurgt på en anden måde end tidligere kaldes i rapporten for “en stigende stilladsering af matematikopgaverne”. Konsekvensen af stilladseringen er, at det er blevet lettere at bestå, konkluderer ekspertudvalget, der dog ikke mener, at det er blevet lettere at får topkarakter.
“Hvor opgaverne i 1970’erne var mere pakket ind, så eleverne selv skulle folde en løsningsmetode ud, så har vi i dag flere opgaver, der er stilladseret med konkrete spørgsmål,” forklarer Olav Lyndrup og tilføjer:
“Stilladseringen er en helt naturlig udvikling, fordi gymnasiet har fået et bredere elevgrundlag med tiden.”
Stabilt mønster i elevbesvarelser
Ekspertudvalget har i alt analyseret 45 elevbesvarelser, der er tilfældigt udvalgt fra 1981 til 2018, heraf er 20 af besvarelserne fra 2018. Besvarelserne kategoriseres alt efter, om de er “ubesvarede, fragmenterede, rutiniserede eller integrerede”. Der er den samme fordeling af kategorier af besvarelser over årene.
“Der er således ikke en faglig skævhed over årene, men et stabilt mønster: Flest svarer på rutiniseret vis, færre svarer fragmenteret eller integreret,” skriver udvalget i rapporten.
Det er rigtigt, at de digitale redskaber påvirker forståelsen, men det gjorde de gamle værktøjer jo også.
Færre timer
Rapporten belyser også undervisernes oplevelse af udviklingen af elevernes og de studerendes matematikfaglighed.
Gymnasielærerne og universitetsunderviserne er stort set enige i udviklingen over tid med hensyn til matematikfagligheden hos de elever og studerende, de modtager. Elever og studerende er blevet bedre til at modellere problemer med brug af matematikfaglige værktøjer og til at arbejde eksperimenterende og undersøgende.
Men underviserne oplever samtidig, at eleverne har ringere grundlæggende færdigheder, dybdeforståelse af matematikken og evne til abstrakt tænkning.
Det, mener Olav Lyndrup, er en naturlig udvikling, set i lyset af at matematik har udviklet sig til både at være med papir og blyant og med digitale værktøjsprogrammer.
“Det er klart, at arbejdet med matematik bliver mere komplekst, når eleverne pludselig skal beherske flere værktøjer. Det betyder også, at man samtidig får mindre tid til det enkelte værktøj,” siger Olav Lyndrup og peger desuden på, at der har været et markant fald i antal timer i perioden.
I 1970 fik man 470 timer til matematik på højeste niveau, og i dag får man tildelt 375 timer.
“Hermed kan det konstateres, at vilkårene for undervisningen i matematik til det højeste niveau er blevet forringet,” konkluderer ekspertudvalget i rapporten.
Ikke i mål
De digitale værktøjsprogrammer har været diskuteret flittigt i de seneste år, fordi lærere oplever, at de fylder for meget i undervisningen, og at de resulterer i en ringere forståelse af matematikken.
“Det er rigtigt, at de digitale redskaber påvirker forståelsen, men det gjorde de gamle værktøjer jo også. Matematik er et abstrakt system, som du må tilgå via redskaber,” siger Torben Spanget Christensen, der understreger, at løsningen ikke er at forbyde de digitale værktøjer.
“Tænk på potentialet med digitale værktøjer, der gør, at eleverne kan arbejde med matematiske problemer, som de slet ikke kunne komme i nærheden af før,” siger Torben Spanget Christensen, der i stedet fremhæver rapportens pointe om at styrke den såkaldte instrumentelle genese.
“Instrumentel genese er toleddet: Først skal eleverne lære at mestre it-værktøjet, og derefter skal de lære at mestre matematikken med værktøjet. Den sidste del er man ikke i mål med endnu,” siger Torben Spanget Christensen.
Olav Lyndrup er enig.
“Arbejdet med de digitale programmer må ikke bare være at trykke på nogle knapper, der skal opstå en forståelse. Og dér er vi slet ikke i mål endnu,” siger Olav Lyndrup, der dog minder om, at man er kommet langt i forhold til den korte tid, man har haft computeren.
Jeg er glad for, at der er blevet skruet op for blyant og papir-matematik, for det gør, at færdigheder kommer mere på bane.
Allerhøjeste faglighed
Gymnasiereformen trækker ifølge Olav Lyndrup også i den rette retning for matematik på A-niveau for eksempel i forhold til eksamenen, der er gået fra en time til to timer til prøven uden hjælpemidler og fra fire til tre timer til prøven med hjælpemidler.
“Jeg er glad for, at der er blevet skruet op for blyant og papir-matematik, for det gør, at færdigheder kommer mere på bane. Jeg tror også, at de nye emner og opgavetyper kan betyde, at vi går fra standardopgaver til at arbejde mere eksperimenterende,” siger Olav Lyndrup.
I en tid, hvor der har været en del debat af især matematik B i det almene gymnasium efter reformen, kan man måske undre sig over, at ekspertudvalget ikke har kastet sig over det niveau af matematik. Men det var ikke tilfældigt, at ekspertudvalget valgte at fokusere på matematik A.
“Netop fordi det er en faglighedsundersøgelse, synes vi, at det er meget vigtigt at kigge på den allerhøjeste faglighed i gymnasiet. Det ville være ærgerligt at pladre undersøgelsen til ved at undersøge den gennemsnitlige faglighed,” siger Torben Spanget Christensen og tilføjer:
“Det er ikke et forsøg på at flygte fra problemstillingerne med matematik B. Det ville helt sikkert også være relevant at kigge på.”
Kommentarer
Kresten Bremer
“Det er rigtigt, at de digitale redskaber påvirker forståelsen, men det gjorde de gamle værktøjer jo også. "...
Hvilke "gamle" værktøjer henvises til?
Førhen havde eleverne en almindelig lommeregner som hverken kunne løse ligninger, løse differentialligninger, tegne funktionsgrafer, integrere, differentiere etc...!?
Torben Spanget Christensen
Hvad er et værktøj? Det bliver vi nødt til at være enige om, når vi diskuterer dette. For mig er et værktøj ikke kun computerprogrammer eller lommeregnere, regnestokke eller tabelværker. Det er også algoritmer, som er opskrifter på hvordan man løser en bestemt type problemer. Der behøver ikke knytte sig matematisk forståelse til brugen af en algoritme. Og så er jeg så gammel, at Erlangs tabeller var et helt uundværligt redskab. Man kunne sagtens slå en logaritme op, uden at forstå den matematik man arbejdede med. Og det er netop det der er pointen. Matematik er ikke identisk med de redskaber, man benytter til at arbejde med matematiske problemer. Men man kan ikke arbejde med matematiske problemer uden redskaber. De to hænger uhjælpeligt sammen. Jeg er helt med på, at bevidstløs anvendelse af redskaber ikke rummer nogen matematisk forståelse. Det er netop det vi siger i rapporten. Men det gælder til alle tider. I udvalgets diskussioner var det et fremtrædende synspunkt, at det er vigtigt også at have øje for de potentialer, der ligger i at kunne arbejde med matematik på et kvalitativt andet niveau med de digitale værktøjer end man kan med de analoge. Men det var også et fremtrædende synspunkt, at vi også er nødt til at holde fast i papir og blyantmatematik, fordi man her formentlig er tættere på at arbejde med en grundforståelse af matematik.
Julian Bybeck Tosev
Kære Torben Spanget Christensen.
Jeg har nogle spørgsmål, som du måske kan svare på:
I skriver følgende overordnede konklusioner i jeres rapport:
Overordnet konkluderer vi, at der er to-tre centrale forandringer i matematikfagligheden i den undersøgte periode:
1. En stigende stilladsering af opgaverne i matematik, hvilket har gjort det lettere at bestå faget, men ikke lettere at opnå en topkarakter.
2. En stigende instrumentalisering (brug af matematiske it-værktøjer).
Den sidste forandring inducerer en tredje potentiel forandring, som vi ikke kan konstatere med sikkerhed, men som må ses som en vigtig udviklingsmulighed, i konsekvens af den øgede instrumentalisering.
3. En stigende instrumentering (elevernes tilegnelse af it-værktøjer med matematiklæring for øje).
Hvordan kan I konkludere, at det ikke er lettere at opnå topkarakter, når I nu samtidig konkluderer, at det er lettere at bestå?
Hænger disse to ting ikke sammen?
Hvordan kan I have en konklusion, som I ikke kan konstatere med sikkerhed, som er en udviklingsmulighed og en potentiel forandring?
Er det mere drømmetænkning end en konklusion?
Hvis man filtrer alt støj væk, så er der kun to pointer tilbage i jeres konklusioner: Opgaverne er blevet lettere og vi bruger it-værktøjer.
Torben Spanget Christensen
Først vil jeg gerne have lov til at sige tak for interessen og kritikken. Det er vigtige diskussioner. Jeg skal med det samme sige, at jeg ikke selv er matematiklærer. Jeg er fagdidaktisk forsker, som især interesserer sig for gymnasiefagene.
Du kalder vores ikke-konklusion om instrumentalisering for drømmetænkning. Ok - det er ikke det ord jeg ville vælge, men jeg forstår, hvad du mener. Jeg vil foretrække at kalde det en vision. Vi ser det jo netop som en potentiel forandring - en mulighed. Og der ligger også noget normativt her, i udvalget drøftede vi netop mulighederne for, at matematik kan udvikle sig som skolefag. Jeg kan sagtens forstå, at man som matematiklærer synes, at man skal må kigge langt efter den mulighed. Men det ville være forkert af os som udvalg, ikke at afsøge fagets udviklingsmuligheder.
Så er det det med den stigende stilladsering. Den er vi enige om, så som jeg forstår dig. Og det betyder selvfølgelig, at det er blevet lettere for elever at bestå, fordi de støttes undervejs i besvarelsen. I vores undersøgelse, som vi skal huske er begrænset i omfang, men som er gennemført af matematikeksperter med stor grundighed (og det er ikke mig, der har gennemført den del), er det imidlertid tydeligt, at elever ikke kan få topkarakter, hvis de 'bare' løser de dele, der er stærkt stilladseret. Der er jo en progression i eksamenssættet. For at løse de vanskeligste dele, skal du simpelthen være dygtig, og du ville også have kunnet klare dig uden den stærke stilladsering. Derfor kan vi godt konkludere det tilsyneladende paradoks, at det er blevet lettere at bestå, men ikke lettere at få en topkarakter.
Julian Bybeck Tosev
Kære Torben.
Tak for dit svar. Jeg er glad for, at du vil svare på mine spørgsmål.
Jeg har et sidste spørgsmål og en bemærkning:
Er det ikke problematisk, at I fremlægger jeres vision for matematikfaget, når I fik til opgave at undersøge fagligheden?
Det er bekymrende, at I promoverer brug af computeren i matematikundervisningen på den måde, når der ikke er noget der tyder på, at elever bliver bedre til matematik ved at give dem en computer eller en iPad (https://gymnasieskolen.dk/forsker-stor-it-satsning-har-ikke-givet-bedre-laering).
Du siger blandt andet:
“Tænk på potentialet med digitale værktøjer, der gør, at eleverne kan arbejde med matematiske problemer, som de slet ikke kunne komme i nærheden af før”.
Denne påstand har vi lærere hørt på i 10 år, og vi har stadigvæk ikke set potentialet udfolde sig, vi har derimod set alle de negative konsekvenser. Store tech-virksomheder taler varmt om dette IT potentiale, og selv vores GL formand og formand for Danske Gymnasier taler varmt om 21st Century Skills, som i bund og grund er en samling tech-virksomheder (https://www.apple.com/education/docs/Apple-P21Framework.pdf)
Hvis politikkerne læser jeres rapport og artikel, så vil det oplagte svar vel være, at computeren og IT skal fylde endnu mere i matematikundervisningen.
Kresten Bremer
Kære Torben Spanget Christensen:
..."Men man kan ikke arbejde med matematiske problemer uden redskaber. De to hænger uhjælpeligt sammen."
Det er ganske enkelt fuldstændigt forkert.
Matematik bygger på ingen måde på det som du kalder for "redskaber".
At du (og jeg) kunne slå en (simpel) logaritme op i Erlangs tabeller byggede ganske enkelt på, at selve svaret for hvad en logaritme giver til et bestemt tal er simpel udregning. Noget man som matematiker er fuldstændig ligeglad med.
Matematik er - som bekendt - studiet af mønstre og strukturer underlagt streng logisk argumentation.
Lad mig tage et eksempel som alle kender:
Pythagoras læresætning bygger på INGEN måde på CAS-værktøjer (værktøjer som kan symbolmanipulere og bruges til eksempelvis at løse ligninger). Den bygger alene på streng logisk argumentation.
Pythagoras (og matematik generelt) bygger ikke på om man kan regne - men at man kan regne "den ud".
Iøvrigt er lommeregnere og specielt CAS-værktøjer bygget på abstrakt matematik - og så naturligvis af softwareudviklere (som mig selv iøvrigt).
Jeg er klar over at vi kan/skal diskutere hvad gymnasiefaget matematik skal/bør indeholde men det er blevet lettere at få topkarakter i matematik A i dag, fordi mange af opgaverne som stilles er typeopgaver - noget som eleverne kan indtaste på deres CAS-værktøjer og straks få svaret.
Og så har kompetencetænkningen i uddannelsessystemet også gjort faktuel basal (og livsnødvendig) viden - som er grundlaget for en ordentlig forståelse af matematik - mindre væsentlig til eksamen.
Mvh. Kresten Bremer
cand. scient. i klassisk matematik
Kresten Bremer
Jeg er til gengæld glædeligt overasket over slutningen
"Men det var også et fremtrædende synspunkt, at vi også er nødt til at holde fast i papir og blyantmatematik, fordi man her formentlig er tættere på at arbejde med en grundforståelse af matematik."
Helt enig! Jeg håber, at dette måske over tid også kunne blive mere udbredt i folkeskolen?!
Mvh. Kresten